a) Ta có:

⇒ (SCD) ⊥ (SAD)

Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Ta có AICD là hình vuông và IBCD là hình bình hành. Vì DI // CB và DI ⊥ CA nên AC ⊥ CB. Do đó CB ⊥ (SAC).

Vậy (SBC) ⊥ (SAC).

b) Ta có:

c) 

Vậy (α) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC) chính là mặt phẳng (SDI). Do đó thiết diện của (α) với hình chóp S.ABCD là tam giác đều SDI có chiều dài mỗi cạnh bằng a√2. Gọi H là tâm hình vuông AICD ta có SH ⊥ DI và  .

Tam giác SDI có diện tích:

Có : AC vuông góc với BD (hình vuông ABCD)

       SA vuông góc với BD ( do SA vuông góc với mp ABCD)

=> BD vuông góc với mp SAC...

a) Tam giác ABD có AB = AD ( do ABCD là hình thoi)

=> Tam giác ABD cân tại A. Lại có góc A= 60o

=> Tam giác ABD đều.

Lại có; SA = SB = SD nên hình chóp S.ABD là hình chóp đều.

* Gọi H là tâm của tam giác ABD

=>SH ⊥ (ABD)

*Gọi O là giao điểm của AC và BD.

● BD ⊥ AC, BD ⊥ SA

⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC).

Hình vuông ABCD có độ dài đường chéo bằng a√2 suy ra hình vuông đó có cạnh bằng a.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có A (0;0;0), B (a;0;0), C (a;a;0), S (0;0;a).

a) Gọi I là giao điểm của mặt phẳng (α) với cạnh SC. Ta có: (α) ⊥ SC, AI ⊂ (α) ⇒ SC ⊥ AI. Vậy AI là đường cao của tam giác vuông SAC. Trong mặt phẳng (SAC), đường cao AI cắt SO tại K và AI ⊂ (α), nên K là giao điểm của SO với (α).

b) Ta có 

⇒ BD ⊥ SC

Mặt khác BD ⊂ (SBD) nên (SBD) ⊥ (SAC).

Vì BD ⊥ SC và (α) ⊥ SC nhưng BD không chứa trong (α) nên BD // (α)

Ta có K = SO ∩ (α) và SO thuộc mặt phẳng (SBD) nên K là một điểm chung của (α) và (SBD).

Mặt phẳng (SBD) chứa BD // (α) nên cắt theo giao tuyến d // BD. Giao tuyến này đi qua K là điểm chung của (α) và (SBD).

Gọi M và N lần lượt là giao điểm của d với SB và SD. Ta được thiết diện là tứ giác AIMN vuông góc với SC và đường chéo MN song song với BD.

\(\left. \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\\\left( {SAC} \right):AC \bot SO = \left\{ O \right\}\\\left( {SBD} \right):BD \bot SO = \left\{ O \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {\left( {SAC} \right),\left( {SBD} \right)} \right) = \left( {AC,BD} \right) = \widehat {AOB}\)

+) Nếu \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow \widehat {AOB} = {90^0} \Rightarrow AC \bot BD\)

Mà ABCD là hình chữ nhật nên ABCD là hình vuông.

+) Nếu ABCD là hình vuông \( \Rightarrow AC \bot BD \Rightarrow \widehat {AOB} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \left( {\left( {SAC} \right),\left( {SBD} \right)} \right) = {90^0} \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\)